Mategiocando

Ti è capitato qualche volta di assistere a degli spettacoli di magia?

Sicuramente conosci personaggi come Silvan o Jucas Casella che ci vengono proposti da TV e giornali come"Maghi". In realtà si potrebbero definire più propriamente illusionisti: ciò che fanno non può essere una magia (che esiste solo nelle favole), gli illusionisti ci danno tuttavia “l'illusione" che lo sia.

Comunque, quando assistiamo ai loro spettacoli, siamo colpiti dalla straordinarietà delle loro azioni e restiamo sorpresi da fatti inaspettati.

E' un po’ quello che accade matematicamente con i quadrati magici.

Si tratta di tabelle di numeri suddivisi ordinatamente in un ugual numero di righe e di colonne: da qui deriva il termine quadrato.

Fin qui però non c'è nulla di straordinario, né di magico.

Ma se noi collochiamo i numeri in modo appropriato, possono verificarsi fatti sorprendenti. Da quando furono scoperti, i quadrati magici sono stati pretesto per passatempi e giochi e talvolta, attraverso il loro studio, sono stati individuati anche concetti matematici utili: così, pur non possedendo nulla di magico, si possono considerare importanti e piacevoli e per questo decidiamo di occuparcene.

Che cos’è un quadrato magico?

Si dice quadrato magico di ordine 3 un quadrato diviso in 3x3 = 9 caselle, in ciascuna delle quali viene inserito un numero naturale positivo secondo le seguenti regole:

i numeri devono essere diversi tra loro
la somma dei numeri di ciascuna riga, di ciascuna colonna e di ciascuna delle due diagonali principali (quelle formate da tre caselle) deve essere sempre la stessa. Tale somma è detta costante magica del quadrato.

Allo stesso modo si possono definire quadrati magici di qualunque altro ordine.

Attività 1


	7
4		5

Completate il seguente quadrato magico di ordine 3 sapendo che la sua costante è M = 21.

Avete notato che è multipla di 3 e che è tre volte il termine centrale 7?

Certo, potrebbe essere solo una coincidenza: meglio indagare un po'.


	5
4		2

Provate ad utilizzare una costante non multipla di 3, ad esempio M = 10 ma semprecollegata con il termine centrale 5.
Che cosa accade?

Anche sforzandoci enormemente non potremo riuscire in questa impresa per più motivi………………………………….

Dunque non abbiamo dimostrato che in un quadrato magico la costante deve essere un multiplo di 3, ma, attraverso un controesempio, abbiamo dimostrato che: se la costante non è un multiplo di 3 allora , almeno in un caso, il quadrato costruito non può possedere le caratteristiche del quadrato magico

Attività 2

Proviamo a ragionare con un quadrato magico qualsiasi di ordine 3. Come prima proviamo a costruirlo conoscendo tre numeri e la sua costante magica.

Ma per essere sicuri di non cadere in casi particolari sostituiamo i numeri con le lettere a, b, c e la costante magica con M.

Completiamo il quadrato riportando i risultati dei nostri calcoli casella per casella cercando sempre l’espressione più semplice possibile (potete seguire le indicazioni contenute a fianco sulla destra, calcolare e poi riportare il risultato nella casella corrispondente).

Casella 8 M - a- c ( somma per riga)

Casella 3 M - ……… (somma per diagonale)

Casella 1 M - ……… ( somma per diagonale

Casella 6 M - ……. ( somma per colonna)

Casella 2 >M - ……. ( somma per colonna)

Casella 4 >M - ……. ( somma per colonna)

Ora proviamo a sommare gli elementi della seconda riga

( …………………….) + b + ( ………………………)= …………

Ma la somma degli elementi di una qualsiasi riga del quadrato magico deve per forza essere uguale a ……….

Possiamo quindi concludere che M = ………

Abbiamo così dimostrato non solo che M è un multiplo di 3 ma che è anche 3 volte il termine ……………………

E se il quadrato fosse di ordine quattro, sapreste dire qualcosa della sua costante magica?....................................................

C’è un valore centrale?............

Vedremo di riprendere queste questioni prima di concludere il lavoro.