Costruire per capire

Quanti tipi di solidi regolari esisteranno?

Attività 0 (Illustrazioni tratte da : Triangoli - C.S.Ross; ed SCIENZA)

Visto che il poliedro deve essere costruito con facce regolari prendiamo in esame i vari poligoni regolari ed osserviamo che cosa accade.

Tetraedro

Partiamo dal triangolo equilatero: ha gli angoli di ………. gradi.

Accostiamo 3 triangoli : 3 x ……… = ………° < 360°

Ottaedro

Accostiamo 4 triangoli equilateri intorno ad un vertice si avrà : 4 x ……..° = ……….° < 360°

Si può costruire l'angoloide saldando tra loro due lati estremi. Se si chiude con un altro angoloide uguale, utilizzando in tutto 8 triangoli equilateri, si ottiene un solido con facce ed angoloidi uguali tra loro ed è quindi un poliedro regolare: un ottaedro.

Icosaedro

Accostiamo 5 triangoli :

5 x ……..° = ……..° < 360°

Si può costruire l'angoloide saldando tra loro due lati estremi. Chiudi il poliedro facendo in modo che in ogni vertice ci siano sempre 5 triangoli. Quanti triangoli hai usato?

Hai costruito un icosaedro (da icos = 20).

Accostando invece 6 triangoli equilateri

non è più soddisfatta la condizione che

……………………………………….

Perciò le facce si “ schiacciano “ su un piano.

Dunque non possono esistere altri poliedri regolari con facce triangolari ad di là dei tre già trovati.

Cubo

Accostiamo ora dei quadrati:

con tre 3 x …….° =………° < 360°

si ottiene un angoloide che permette poi di costruire un cubo o esaedro

Già quattro quadrati non vanno più bene, perché la somma dei quattro angoli che concorrono in un vertice è uguale a 360°: si rimane così nel piano.

Dodecaedro

Possiamo usare dei pentagoni:

la somma degli angoli interni di un pentagono regolare è data da (n-2) *180° con n = 5

dunque ogni angolo interno misura …………°

così tre angoli misurano : 3 x ……..° = ………° < 360°

Costruisci il solido facendo in modo che in ogni vertice concorrano tre pentagoni. Hai ottenuto un dodecaedro, che ha ………..facce.

Ma con quattro pentagoni la somma supera 360°.

Con tre esagoni la situazione si presenta in questo modo:

ogni angolo interno misura ………..°

Accostando tre esagoni si realizza un angolo di ……..° . Questo non ci permette di uscire dal piano.

Non è possibile nessuna altra costruzione, con nessun altro poligono regolare. Infatti gli angoli interni dei poligoni regolari con più di 6 lati risulteranno maggiori di 120°. Poiché per costruire un angoloide occorrono almeno tre di tali poligoni, la somma degli angoli che delimitano l'angoloide sarebbe maggiore di 360° , mentre la condizione per poter costruire un solido (convesso) è che tale somma sia minore di 360°.

In tutto quindi non si possono avere che cinque poliedri regolari.

Se li hai costruiti potrai avere 5 punti per la caccia al tesoro.